PEMROGRAMAN LINIER

PEMROGRAM LINEAR

Pengertian Program Linear :
Program Linear adalah bagian ilmu matematika terapan
yang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi
(pemaksimalan atau peminimalan suatu tujuan) yang
dapat digunakan untuk mencari keuntungan maksimum
seperti dalam bidang perdagangan, penjualan dsb
Daerah Penyelesaian:.
Dalam penyelesaian persoalan program linear adalah
pemahaman dalam pembuatan grafik pertidaksamaan
linear yaitu penentuan daerah himpunan penyelesaian
dari suatu system pertidaksamaan linear.
Yang perlu diingat dalam pembuatan grafik
pertidaksamaan linear ini yaitu mengenai persamaan
garis.
1. Persamaan garis melalui suatu titik (x1 , y1) dengan
gradien m adalah:
(y - y1 ) = m (x - x1) •
p (x1 , y1)
2. Persamaan garis melalui titik (x1 , y1 ) dan (x 2 , y 2 )
adalah:
2 1
1
y y
y y
−
−
=
2 1
1
x x
x x
−
−
•
• (x 2 , y 2 )
(x1 , y1)
p
3. Persamaan garis lurus yang memotong sumbu x (y=0)
di titik (b,0) dan memotong sumbu y (x=0) di titik (0, a)
adalah:
b
x +
a
y = 1 ⇔ ax + by = a.b
y
(0,a) ax + by = a.b
(b,0) x
Bukti :
b
x +
a
y = 1 ⇔ ax + by = a.b
Gunakan persamaan 2 di atas :
2 1
1
y y
y y
−
−
=
2 1
1
x x
x x
−
−
Persamaan garis melalui (b,0) 􀃆 (x1 , y1)
dan (0, a) 􀃆 (x 2 , y 2 )
0
0
−
−
a
y =
b
x b
−
−
0
⇔
a
y =
b
x b
−
−
⇔ - by = a(x-b)
⇔ - by = ax – ab
⇔ ab = ax + by
⇔ ax + by = ab 􀃆 terbukti
4. Dua gradien sama apabila dua garis saling sejajar.
m1 = m 2
h1
h 2
5. Hasil perkalian dua gradien adalah – 1 apabila dua garis
saling tegak lurus
m1 . m 2 = -1
h1
h 2
www.belajar-matematika.com - 2
Contoh:
Tentukan persamaan garis dari gambar di bawah ini :
garis h1 melalui (3,0) dan (0,2) ;
garis h1 ⊥ h2 dan melalui (1,0).
persamaan garis h1 (gunakan rumus
b
x +
a
y = 1 )
3
x +
2
y = 1 |x 6|
persamaan garis h1 ⇒ 2x + 3y = 6
3y = -2x + 6
y = -
3
2 x + 6
persamaan garis h2 :
h1 ⊥ h2 sehingga m1 . m 2 = -1
m1 = -
3
2 maka m 2 =
2
3
melalui (1,0)
(y - y1 ) = m 2 (x - x1)
y – 0 =
2
3 ( x – 1 )
y =
2
3 ( x – 1 )
2y = 3x – 3
persamaan garis h2 adalah 3x-2y = 3
Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear:
Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian
pertidaksamaan linear dapat dilakukan dengan
menggunakan metoda grafik dan uji titik.
Langkah-langkahnya ( ax + by ≥ c) yaitu :
1. Gambar garis ax + by = c
2. Lakukan uji titik dengan menentukan titik sembarang
(x,y) yang terletak di luar garis ax + by= c, kemudian
substitusikan ke dalam persamaan ax + by ≥ c.
a. Jika benar, maka himpunan penyelesaiannya adalah
daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis
ax + by = c
b. Jika salah, titik tersebut bukan himpunan
penyelesaiannya
Tanpa melakukan uji titik himpunan penyelesaian
pertidaksamaan dapat dilihat dari gambar berikut dimana
garis membagi bidang menjadi 2 bagian :
untuk a >0 dan b>0
y
ax + by ≥ ab
(0,a)
ax + by ≤ ab
x
(b,0)
ax + by =c
untuk a > 0 dan b <0
y
ax - by ≤ -ab (0,a)
ax - by ≥ -ab
x
(-b,0)
www.belajar-matematika.com - 3
Untuk a < 0 dan b > 0
-ax + by ≥ -ab
(b,0)
x
(0,-a) -ax + by ≤ -ab
y
Untuk a < 0 dan b <0
-ax – by ≤ ab
x (-b,0)
(0,-a)
-ax – by ≥ ab
y
Contoh:
Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari system
pertidaksamaan :
2x +3 y ≤ 6 ; 4x +2y ≤ 8 ; x ≥ 0 ; y ≥0
untuk x dan y ∈R
jawab:
Langkah 1:
gambar persamaan 2x +3y ≤6
Buat garis 2x +3 y = 6
titik potong dengan sb x jika y=0􀃆 2x = 6
x = 3
titik potong dengan sb y jika x = 0􀃆 3y = 6
y=2
didapat koordinat (3,0) dan (0,2)
Langkah 2 :
gambar persamaan 4x +2y ≤8
Buat garis 4x +2y = 8
titik potong dengan sb x jika y=0􀃆 4x = 8
x = 2
titik potong dengan sb y jika x = 0􀃆 2y = 8
y= 4
didapat koordinat (2,0) dan (0,4)
4
4x+2y=8
2 titik potong
2x+3y=6
2 3
Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian, ujilah
titik (0,0). Titik(0,0) memenuhi pertidaksamaan
2x +3 y ≤ 6 ; 4x +2y ≤ 8 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0, maka (0,0)
merupakan anggota himpunan penyelesaian.
Daerah yang diarsir menunjukkan himpunan
penyelesaian dari system pertidaksamaan linear.
Tambahan:
Titik potong dua persamaan adalah:
Substitusikan persamaan 1 dan 2 :
2x + 3y = 6 | x 4 | ⇒ 8x + 12y = 24
4x + 2y = 8 | x 2 | ⇒ 8x + 4y = 16 -
8 y = 8
y = 1
2x + 3y = 6
2x + 3. 1 = 6
x = 1
2
1
titik potongnya adalah (1
2
1 , 1 )
Nilai Optimum (Maksimum dan Minimum) dalam daerah
penyelesaian
Untuk menentukan nilai optimum dalam daerah
penyelesaian, dapat ditentukan dengan menggunakan
metode titik pojok (titik ekstrim) atau garis selidik.
Contoh:
Jika diketahui system pertidaksamaan
2x +3 y ≤ 6 ; 4x +2y ≤ 8 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 untuk x dan y ∈R,
Tentukan nilai optimum untuk A = x +3y dan B= 2x+5y
dimana x,y∈R
www.belajar-matematika.com - 4
Jawab:
y
Q (0,2) P= (1
2
1 ,1)
x
O R(2,0) (3,0)
titik P merupakan titik potong garis
2x + 3y = 6 | x 4 | ⇒ 8x + 12y = 24
4x + 2y = 8 | x 2 | ⇒ 8x + 4y = 16 -
8 y = 8
y = 1
2x + 3y = 6
2x + 3. 1 = 6
x = 1
2
1
titik potongnya adalah titik P (1
2
1 , 1 )
Daerah yang diarsir merupakan himpunan
penyelesaian dari system pertidaksamaan. Titik-titik
ekstrimnya adalah P(1
2
1 ,1), Q(0,2), R(2,0) dan
O(0,0).
Tabel.
Titik O P Q R
X 0
1
2
1 0 2
Y 0 1 2 0
A=x+3y 0
4
2
1 6 2
B=2x+5y 0 8 10 4
dari tabel dapat disimpulkan bahwa :
nilai maksimum dari A adalah 6 , minimum adalah 0
nilai maksimum dari B adalah 10, minimum adalah 0
Model Matematika
Model matematika adalah penerjemahan dari situasi yang
disajikan dalam bahasa sehari-hari menjadi bahasa
matematika (pertidaksamaan linear)
Contoh:
Tempat parkir di suatu gedung mempunyai luas 800m 2 ,
untuk memarkir sebuah mobil diperlukan tempat seluas
10m 2 dan untuk suatu bus atau truk diperlukan tempat
seluas 20m 2 . Tempat parkir tersebut maksimal hanya dapat
menampung tidak lebih dari 50 mobil dan bus. Jika ongkos
parkir untuk mobil adalah Rp.2000,- dan untuk bus/truk
Rp.4000,- berapa ongkos maksimal parkir yang didapat ?.
Jawab:
langkah 1 : buat model matematika dalam bentuk table
Jenis Luas Banyak
Mobil 10 X
Bus 20 Y
Tersedia 800 50
Diperoleh model matematika:
10x + 20y ≤ 800 ⇔ x + 2y ≤ 80
x + y ≤ 50
x ≥ 0
y ≥ 0
fungsi tujuannya adalah f(x,y)=2000x + 5000 y dengan syaratsyarat
di atas.
Langkah 2: menggambar daerah penyelesaian
Daerah 1 􀃆 x + 2 y = 80
X 0 80
Y 40 0
Titik (0,40) 80,0)
daerah 2 􀃆 x + y = 50
X 0 50
Y 50 0
Titik (0,50) (50,0)
www.belajar-matematika.com - 5
Titik potong garis x + 2 y = 80 dan x + y = 50
x + 2 y = 80
x + y = 50 -
y = 30
x + y = 50
x = 50 – 30 = 20
titik potongnya (30,20)
(0,50) titik potong (20,30)
(0,40)
(0,0)
(50,0) (80,0)
Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaianya
Langkah 3 : Menentukan nilai optimum fungsi tujuannya
Dengan menggunakan metoda titik-titk sudut :
Terdapat 4 titik sudut yaitu (0,0), (50,0), (20,30) dan (0,40)
Jadi ongkos maksimal yang didapat adalah Rp.160.000
dengan jumlah parkir untuk mobil sebanyak 20 mobil dan
untuk bus/truk sebanyak 30 bus/truk
catatan:
nilai untuk titik (0,40) jumlahnya sama dengan untuk
(20,30) tetapi tidak mungkin satu lahan parkir hanya
digunakan untuk bus/truk saja sehingga nilai tersebut
diabaikan.
Titik (0,0) (50,0) (20,30) (0,40)
X 0 50 20 0
Y 0 0 30 40
2000x+4000y 0 100.000 160.000 160.000