LIMIT DAN TURUNAN

A.Limit,turunan parsial dan turunan

1.limit

a).limit fungsi

Misalkan f : D    fungsi bernilai vektor di  dengan n variabel dan misalkan pula a titik limit daerah definisi fungsi f.arti :

=1=( ,......... )

Adalah bahwa untuk setiap    ada bilangan  sehingga untuk setiap x di daerah definisi fungsi D yang memenuhi 0  memenuhi :

Perhatikan bahwa kita dapat menulis sebagai:

, (   ))

Dengan  a=( ).

b)limit fungsi vektor dan limit fungsi komponennya

Misalkan f(x) fungsi bernilai vektor di  dengan n variabel dan a titik limit dari daerah definisi fungsi f.kemudian:

=1=( )

Jika dan hanya jika      (x)=

Untuk setiap  = 1

      ( ,...., ,....,

      Berdasarkan teorema ini,untuk mencari limit fungsi bernilai vektor,cukup dengan mencari limit dari tiap fungsi komponennya.

Contoh:

Untuk mencari limit fungsi

        , )

Cukup dengan mencari nilai

 

 

Oleh karena itu,nilai limit yang dicari adalah

 

2.Turunan Parsial

a).Turunan parsial pertama

Misalkan f( ) adalah fungsi 2 peubah dan .

·         Turunan parsial pertama dari  terhadap  (  dianggap konstan) didefinisikan sebagai :

( =

              Notasi lain:

·        Turunan parsial pertama dari  terhadap  (  dianggap konstan)

Didefinisikan sebagai berikut:

( =

Notasi lain: (

Contoh :

1.

              =

+2

2.

           . 2

= 8(

           .

b).turunan parsial kedua

·        =( = ( )=

·        =( = ( )=

·        =( = ( )=

·        =( = ( )=

Contoh:

Tentukan  dari:

=8

Jawab:

=16

=16 )

=16

=8 +

=

=16

c).Turunan parsial  fungsi 3 peubah

     Misalkan f  suatu fungsi 3 peubah Turunan parsial f terhadap dan   ) dianggap konstanta di ( didefinisikan sebagai :

       (

                          

 Turunan parsial f terhadap dan  didefinisikan serupa.

Contoh:

Diketahui

Maka:

=

=

=

3. Turunan

Turunan fungsi bernilai vektor di  dengan variabel

     Misalkan f fungsi  variabel dengan nilainya merupakan vektor di .Turunan fungsi f di  D adalah transformasi linear  sehingga:

                              =0

     Dengan  menyatakan norm di .Turunan ini di tulis sebagai  sedangkan nilai:              

Yaitu nilai transformasi linear di ,disebut diferensial fungsi f.

     Karena limit untuk fungsi bernilai vektor  dapat dihitung per komponen,maka fungsi bernilai vektor f mempunyai turunan jika dan hanya jika fungsi komponen  mempunyai turunan dalam arti untuk setiap

Contoh:

(

Karena fungsi (  dan (  mempunyai turunan,maka fungsi f juga mempunyai turunan.Turunan fungsi f di titik a=(  adalah bagian linear terhadap ( dari  bentuk,

(

                                                    

Yaitu:

             

Sehingga matriks penyajian transformasi linear tsb adalah:

                                    

Yang merupakan matriks transformasi turunan f di (

Sementara itu diferensial f di titik ( adalah:

                           

Secara umum,matriks transformasi terhadap basis standar,turunan fungsi

              ( ),......, (

Di titik adalah:

                    

Yaitu matriks berukuran Matriks ini seringkali juga ditulis sebagai matriks

                                 dan disebut matriks jacobi

Contoh:

Matriks transformasi turunan fungsi: di  adalah:

=

B.Aljabar fungsi,fungsi komposisi dan turunannya

a).Aljabar fungsi

1.operasi untuk fungsi

    Misalkan f,g dua fungsi  variabel dan nilainya di  .Jumlah fungsi f + g didefinisikan sebagai:

             (f +g)( =f( +g( )

                            =( ( ( (

                            =( ( (

                            = + =

 Perkalian skalar cf antara f dan skalar c didefinisikan sebagai:

(cf)( cf(

                          =

Hasil kali skalar f . g dari f dan g didefinisikan sebagai:

 (f.g)( f( .g(

             

    Khususnya untuk =3,kita dapat mendefinisikan hasil kali vektor f g dari f dan g,yaitu sebagai:

        (f g)( f( g

                       

                       

Contoh:

Diketahui fungsi

 dan

Jawab:

=

2f( dan

g(

Karena fungsi f,g nilainya di ,maka:

             (f g)(

                            

b).Aljabar limit

     Misalkan  dan  maka:

1.

2.

C).Aljabar turunan

    Misalkan f,g dua fungsi bernilai vektor di mempunyai turunan di .kemudian,fungsi f+g mempunyai turunan di  dan nilainya adalah:

             (

Perhatikan bahwa operasi yang terlibat pada jumlah turunan adalah operasi matriks.Demikian pula,untuk sebarang bilangan real c,fungsi cf mempunyai turunan di  dan:

            (cf)’( )=cf’( )

Khususnya jika m=3,maka berlaku

          (f g)’( =f’( g( f( g’(

Contoh:

Misalkan f(  dan g( kemudian fungsi

          (f+g)’(

 

Dan           (f.g)(

Turunan fungsi terakhir ini dapat dicari langsung dengan menggunakan aturan turunan fungsi skalar.Jika digunakan pada setiap komponen,diperoleh:

    

Sehingga bentuk yang terakhir ini dapat ditulis dalam bentuk matriks,yaitu:

  

Yaitu g( f’( f( g’( vektor ditulis sebagai matriks kolom,dan pangkat  mempunyai arti sebagai transpose.

b)Fungsi komposisi

Misalkan diketahui fungsi f yang didefinisikan sebagai

             

             

Dan selanjutnya misalkan pula bahwa  dan  tsb juga bergantung pada

Dengan rumus:

                 

               

Dengan demikian,variabel  juga merupakan fungsi dari  yang rumusnya dapat dicari,yaitu:

            

            

Sehingga kita dapat mencari turunan fungsi terakhir dalam turunan fungsi yang diketahui tanpa harus mencari rumus terakhir tsb yg dikenal sebagai aturan rantai.

           

             

Dalam bentuk matriks adalah:

           

Turunan fungsi adalah:

                

              atau

Oleh karena itu,diferensial  dan  dalam  dan  diperoleh dengan mengganti  sehingga diperoleh:

            

 Misalkan diketahui fungsi dua variabel f(  yang nilainya di ,dan misalkan pula g menyatakan hubungan fungsi g( maka hubungan antara  dengan (  dapat ditulis sebagai fungsi:

           F  g( f

Yang disebut sebagai fungsi komposisi f dan .Turunan fungsi komposisi ini adalah

        ( (

c).Aturan rantai

 Andaikan  dan  terdiferensialkan di  dan andaikan  terdiferensialkan di (  didiferensialkan di ,

     

Contoh:

Ø  Misalkan  dengan  dan

Tentukan

                    

        

         ( (

 

Ø  Misalkan  mempunyai turunan pertama di ( dan misalkan  terdiferensialkan di  mempunyai turunan parsial  pertama yaitu:

(i).

(ii).

Contoh:  dengan dan

Tentukan