PEMROGRAM LINEAR
Pengertian Program Linear :
Program Linear adalah bagian ilmu matematika terapan
yang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi
(pemaksimalan atau peminimalan suatu tujuan) yang
dapat digunakan untuk mencari keuntungan maksimum
seperti dalam bidang perdagangan, penjualan dsb
Daerah Penyelesaian:.
Dalam penyelesaian persoalan program linear adalah
pemahaman dalam pembuatan grafik pertidaksamaan
linear yaitu penentuan daerah himpunan penyelesaian
dari suatu system pertidaksamaan linear.
Yang perlu diingat dalam pembuatan grafik
pertidaksamaan linear ini yaitu mengenai persamaan
garis.
1. Persamaan garis melalui suatu titik (x1 , y1) dengan
gradien m adalah:
(y - y1 ) = m (x - x1) •
p (x1 , y1)
2. Persamaan garis melalui titik (x1 , y1 ) dan (x 2 , y 2 )
adalah:
2 1
1
y y
y y
−
−
=
2 1
1
x x
x x
−
−
•
• (x 2 , y 2 )
(x1 , y1)
p
3. Persamaan garis lurus yang memotong sumbu x (y=0)
di titik (b,0) dan memotong sumbu y (x=0) di titik (0, a)
adalah:
b
x +
a
y = 1 ⇔ ax + by = a.b
y
(0,a) ax + by = a.b
(b,0) x
Bukti :
b
x +
a
y = 1 ⇔ ax + by = a.b
Gunakan persamaan 2 di atas :
2 1
1
y y
y y
−
−
=
2 1
1
x x
x x
−
−
Persamaan garis melalui (b,0) (x1 , y1)
dan (0, a) (x 2 , y 2 )
0
0
−
−
a
y =
b
x b
−
−
0
⇔
a
y =
b
x b
−
−
⇔ - by = a(x-b)
⇔ - by = ax – ab
⇔ ab = ax + by
⇔ ax + by = ab terbukti
4. Dua gradien sama apabila dua garis saling sejajar.
m1 = m 2
h1
h 2
5. Hasil perkalian dua gradien adalah – 1 apabila dua garis
saling tegak lurus
m1 . m 2 = -1
h1
h 2
www.belajar-matematika.com - 2
Contoh:
Tentukan persamaan garis dari gambar di bawah ini :
garis h1 melalui (3,0) dan (0,2) ;
garis h1 ⊥ h2 dan melalui (1,0).
persamaan garis h1 (gunakan rumus
b
x +
a
y = 1 )
3
x +
2
y = 1 |x 6|
persamaan garis h1 ⇒ 2x + 3y = 6
3y = -2x + 6
y = -
3
2 x + 6
persamaan garis h2 :
h1 ⊥ h2 sehingga m1 . m 2 = -1
m1 = -
3
2 maka m 2 =
2
3
melalui (1,0)
(y - y1 ) = m 2 (x - x1)
y – 0 =
2
3 ( x – 1 )
y =
2
3 ( x – 1 )
2y = 3x – 3
persamaan garis h2 adalah 3x-2y = 3
Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear:
Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian
pertidaksamaan linear dapat dilakukan dengan
menggunakan metoda grafik dan uji titik.
Langkah-langkahnya ( ax + by ≥ c) yaitu :
1. Gambar garis ax + by = c
2. Lakukan uji titik dengan menentukan titik sembarang
(x,y) yang terletak di luar garis ax + by= c, kemudian
substitusikan ke dalam persamaan ax + by ≥ c.
a. Jika benar, maka himpunan penyelesaiannya adalah
daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis
ax + by = c
b. Jika salah, titik tersebut bukan himpunan
penyelesaiannya
Tanpa melakukan uji titik himpunan penyelesaian
pertidaksamaan dapat dilihat dari gambar berikut dimana
garis membagi bidang menjadi 2 bagian :
untuk a >0 dan b>0
y
ax + by ≥ ab
(0,a)
ax + by ≤ ab
x
(b,0)
ax + by =c
untuk a > 0 dan b <0
y
ax - by ≤ -ab (0,a)
ax - by ≥ -ab
x
(-b,0)
www.belajar-matematika.com - 3
Untuk a < 0 dan b > 0
-ax + by ≥ -ab
(b,0)
x
(0,-a) -ax + by ≤ -ab
y
Untuk a < 0 dan b <0
-ax – by ≤ ab
x (-b,0)
(0,-a)
-ax – by ≥ ab
y
Contoh:
Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari system
pertidaksamaan :
2x +3 y ≤ 6 ; 4x +2y ≤ 8 ; x ≥ 0 ; y ≥0
untuk x dan y ∈R
jawab:
Langkah 1:
gambar persamaan 2x +3y ≤6
Buat garis 2x +3 y = 6
titik potong dengan sb x jika y=0 2x = 6
x = 3
titik potong dengan sb y jika x = 0 3y = 6
y=2
didapat koordinat (3,0) dan (0,2)
Langkah 2 :
gambar persamaan 4x +2y ≤8
Buat garis 4x +2y = 8
titik potong dengan sb x jika y=0 4x = 8
x = 2
titik potong dengan sb y jika x = 0 2y = 8
y= 4
didapat koordinat (2,0) dan (0,4)
4
4x+2y=8
2 titik potong
2x+3y=6
2 3
Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian, ujilah
titik (0,0). Titik(0,0) memenuhi pertidaksamaan
2x +3 y ≤ 6 ; 4x +2y ≤ 8 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0, maka (0,0)
merupakan anggota himpunan penyelesaian.
Daerah yang diarsir menunjukkan himpunan
penyelesaian dari system pertidaksamaan linear.
Tambahan:
Titik potong dua persamaan adalah:
Substitusikan persamaan 1 dan 2 :
2x + 3y = 6 | x 4 | ⇒ 8x + 12y = 24
4x + 2y = 8 | x 2 | ⇒ 8x + 4y = 16 -
8 y = 8
y = 1
2x + 3y = 6
2x + 3. 1 = 6
x = 1
2
1
titik potongnya adalah (1
2
1 , 1 )
Nilai Optimum (Maksimum dan Minimum) dalam daerah
penyelesaian
Untuk menentukan nilai optimum dalam daerah
penyelesaian, dapat ditentukan dengan menggunakan
metode titik pojok (titik ekstrim) atau garis selidik.
Contoh:
Jika diketahui system pertidaksamaan
2x +3 y ≤ 6 ; 4x +2y ≤ 8 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 untuk x dan y ∈R,
Tentukan nilai optimum untuk A = x +3y dan B= 2x+5y
dimana x,y∈R
www.belajar-matematika.com - 4
Jawab:
y
Q (0,2) P= (1
2
1 ,1)
x
O R(2,0) (3,0)
titik P merupakan titik potong garis
2x + 3y = 6 | x 4 | ⇒ 8x + 12y = 24
4x + 2y = 8 | x 2 | ⇒ 8x + 4y = 16 -
8 y = 8
y = 1
2x + 3y = 6
2x + 3. 1 = 6
x = 1
2
1
titik potongnya adalah titik P (1
2
1 , 1 )
Daerah yang diarsir merupakan himpunan
penyelesaian dari system pertidaksamaan. Titik-titik
ekstrimnya adalah P(1
2
1 ,1), Q(0,2), R(2,0) dan
O(0,0).
Tabel.
Titik O P Q R
X 0
1
2
1 0 2
Y 0 1 2 0
A=x+3y 0
4
2
1 6 2
B=2x+5y 0 8 10 4
dari tabel dapat disimpulkan bahwa :
nilai maksimum dari A adalah 6 , minimum adalah 0
nilai maksimum dari B adalah 10, minimum adalah 0
Model Matematika
Model matematika adalah penerjemahan dari situasi yang
disajikan dalam bahasa sehari-hari menjadi bahasa
matematika (pertidaksamaan linear)
Contoh:
Tempat parkir di suatu gedung mempunyai luas 800m 2 ,
untuk memarkir sebuah mobil diperlukan tempat seluas
10m 2 dan untuk suatu bus atau truk diperlukan tempat
seluas 20m 2 . Tempat parkir tersebut maksimal hanya dapat
menampung tidak lebih dari 50 mobil dan bus. Jika ongkos
parkir untuk mobil adalah Rp.2000,- dan untuk bus/truk
Rp.4000,- berapa ongkos maksimal parkir yang didapat ?.
Jawab:
langkah 1 : buat model matematika dalam bentuk table
Jenis Luas Banyak
Mobil 10 X
Bus 20 Y
Tersedia 800 50
Diperoleh model matematika:
10x + 20y ≤ 800 ⇔ x + 2y ≤ 80
x + y ≤ 50
x ≥ 0
y ≥ 0
fungsi tujuannya adalah f(x,y)=2000x + 5000 y dengan syaratsyarat
di atas.
Langkah 2: menggambar daerah penyelesaian
Daerah 1 x + 2 y = 80
X 0 80
Y 40 0
Titik (0,40) 80,0)
daerah 2 x + y = 50
X 0 50
Y 50 0
Titik (0,50) (50,0)
www.belajar-matematika.com - 5
Titik potong garis x + 2 y = 80 dan x + y = 50
x + 2 y = 80
x + y = 50 -
y = 30
x + y = 50
x = 50 – 30 = 20
titik potongnya (30,20)
(0,50) titik potong (20,30)
(0,40)
(0,0)
(50,0) (80,0)
Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaianya
Langkah 3 : Menentukan nilai optimum fungsi tujuannya
Dengan menggunakan metoda titik-titk sudut :
Terdapat 4 titik sudut yaitu (0,0), (50,0), (20,30) dan (0,40)
Jadi ongkos maksimal yang didapat adalah Rp.160.000
dengan jumlah parkir untuk mobil sebanyak 20 mobil dan
untuk bus/truk sebanyak 30 bus/truk
catatan:
nilai untuk titik (0,40) jumlahnya sama dengan untuk
(20,30) tetapi tidak mungkin satu lahan parkir hanya
digunakan untuk bus/truk saja sehingga nilai tersebut
diabaikan.
Titik (0,0) (50,0) (20,30) (0,40)
X 0 50 20 0
Y 0 0 30 40
2000x+4000y 0 100.000 160.000 160.000
Selasa, 29 Mei 2012
LIMIT DAN TURUNAN
A.Limit,turunan parsial dan turunan
1.limit
a).limit
fungsi
Misalkan f
: D
fungsi bernilai vektor di
dengan n
variabel dan misalkan pula a titik
limit daerah definisi fungsi f.arti
:
=1=(
,.........
)
Adalah bahwa untuk setiap
ada bilangan
sehingga untuk setiap x di daerah definisi fungsi D
yang memenuhi 0
memenuhi :
Perhatikan bahwa kita dapat menulis
sebagai:
,
(
))
Dengan
a=(
).
b)limit fungsi vektor dan limit fungsi
komponennya
Misalkan f(x) fungsi bernilai
vektor di
dengan n
variabel dan a titik limit dari
daerah definisi fungsi f.kemudian:
=1=(
)
Jika
dan hanya jika
(x)=
Untuk setiap
=
1
(
,....,
,....,
Berdasarkan teorema ini,untuk mencari
limit fungsi bernilai vektor,cukup dengan mencari limit dari tiap fungsi komponennya.
Contoh:
Untuk mencari limit
fungsi
,
)
Cukup dengan mencari
nilai
Oleh karena itu,nilai
limit yang dicari adalah
2.Turunan
Parsial
a).Turunan parsial pertama
Misalkan f(
) adalah fungsi 2 peubah
dan
.
·
Turunan parsial pertama
dari
terhadap
(
dianggap konstan) didefinisikan sebagai :
(
=
Notasi lain:
·
Turunan parsial pertama
dari
terhadap
(
dianggap konstan)
Didefinisikan
sebagai berikut:
(
=
Notasi lain:
(
Contoh :
1.
=
+2
2.
. 2
= 8(
.
b).turunan
parsial kedua
·
=(
=
(
)=
·
=(
=
(
)=
·
=(
=
(
)=
·
=(
=
(
)=
Contoh:
Tentukan
dari:
=8
Jawab:
=16
=16
)
=16
=8
+
=
=16
c).Turunan
parsial fungsi 3 peubah
Misalkan f suatu fungsi 3 peubah
Turunan parsial f terhadap
dan
)
dianggap konstanta di (
didefinisikan sebagai :
(
Turunan parsial f terhadap
dan
didefinisikan serupa.
Contoh:
Diketahui
Maka:
=
=
=
3. Turunan
Turunan
fungsi bernilai vektor di
dengan
variabel
Misalkan f fungsi
variabel dengan nilainya merupakan vektor di
.Turunan fungsi f di
D adalah transformasi linear
sehingga:
=0
Dengan
menyatakan norm di
.Turunan ini di tulis sebagai
sedangkan nilai:
Yaitu
nilai transformasi linear di
,disebut diferensial fungsi f.
Karena limit untuk fungsi bernilai
vektor dapat dihitung per komponen,maka
fungsi bernilai vektor f mempunyai
turunan jika dan hanya jika fungsi komponen
mempunyai turunan dalam arti untuk setiap
Contoh:
(
Karena
fungsi
(
dan
(
mempunyai turunan,maka fungsi f juga mempunyai turunan.Turunan fungsi f di titik a=(
adalah bagian linear terhadap (
dari
bentuk,
(
Yaitu:
Sehingga
matriks penyajian transformasi linear tsb adalah:
Yang
merupakan matriks transformasi turunan f
di (
Sementara
itu diferensial f di titik (
adalah:
Secara
umum,matriks transformasi terhadap basis standar,turunan fungsi
(
),......,
(
Di
titik
adalah:
Yaitu
matriks berukuran
Matriks ini seringkali juga ditulis
sebagai matriks
dan disebut matriks jacobi
Contoh:
Matriks
transformasi turunan fungsi:
di
adalah:
=
B.Aljabar fungsi,fungsi komposisi dan
turunannya
a).Aljabar
fungsi
1.operasi untuk fungsi
Misalkan f,g
dua fungsi
variabel dan nilainya di
.Jumlah
fungsi f + g didefinisikan sebagai:
(f +g)(
=f(
+g(
)
=(
(
(
(
=(
(
(
=
+
=
Perkalian skalar cf antara f dan skalar c
didefinisikan sebagai:
(cf)(
cf(
=
Hasil
kali skalar f . g dari f dan g didefinisikan sebagai:
(f.g)(
f(
.g(
Khususnya untuk
=3,kita dapat mendefinisikan hasil kali
vektor f
g dari f dan g,yaitu sebagai:
(f
g)(
f(
g
Contoh:
Diketahui
fungsi
dan
Jawab:
=
2f(
dan
g(
Karena
fungsi f,g nilainya di
,maka:
(f
g)(
b).Aljabar
limit
Misalkan
dan
maka:
1.
2.
C).Aljabar
turunan
Misalkan f,g dua fungsi bernilai vektor di
mempunyai turunan di
.kemudian,fungsi f+g mempunyai turunan di
dan nilainya adalah:
(
Perhatikan
bahwa operasi yang terlibat pada jumlah turunan adalah operasi matriks.Demikian
pula,untuk sebarang bilangan real c,fungsi
cf mempunyai turunan di
dan:
(cf)’(
)=cf’(
)
Khususnya
jika m=3,maka berlaku
(f
g)’(
=f’(
g(
f(
g’(
Contoh:
Misalkan
f(
dan g(
kemudian fungsi
(f+g)’(
Dan (f.g)(
Turunan
fungsi terakhir ini dapat dicari langsung dengan menggunakan aturan turunan
fungsi skalar.Jika digunakan pada setiap komponen,diperoleh:
Sehingga
bentuk yang terakhir ini dapat ditulis dalam bentuk matriks,yaitu:
Yaitu
g(
f’(
f(
g’(
vektor ditulis sebagai matriks kolom,dan
pangkat
mempunyai arti sebagai transpose.
b)Fungsi
komposisi
Misalkan
diketahui fungsi f yang didefinisikan sebagai
Dan
selanjutnya misalkan pula bahwa
dan
tsb juga bergantung pada
Dengan
rumus:
Dengan
demikian,variabel
juga merupakan fungsi dari
yang rumusnya dapat dicari,yaitu:
Sehingga
kita dapat mencari turunan fungsi terakhir dalam turunan fungsi yang diketahui
tanpa harus mencari rumus terakhir tsb yg dikenal sebagai aturan rantai.
Dalam
bentuk matriks adalah:
Turunan
fungsi adalah:
atau
Oleh
karena itu,diferensial
dan
dalam
dan
diperoleh dengan mengganti
sehingga diperoleh:
Misalkan diketahui fungsi dua variabel
f(
yang nilainya di
,dan misalkan pula g menyatakan hubungan
fungsi
g(
maka hubungan antara
dengan (
dapat ditulis sebagai fungsi:
F
g(
f
Yang
disebut sebagai fungsi komposisi f dan .Turunan fungsi komposisi ini adalah
(
(
c).Aturan
rantai
Andaikan
dan
terdiferensialkan di
dan andaikan
terdiferensialkan di (
didiferensialkan di
,
Contoh:
Ø
Misalkan
dengan
dan
Tentukan
(
(
Ø
Misalkan
mempunyai turunan pertama di (
dan misalkan
terdiferensialkan di
mempunyai turunan parsial pertama yaitu:
(i).
(ii).
Contoh:
dengan
dan
Tentukan
Langganan:
Postingan (Atom)